CONTENIDO

CAP?TULO 1.

Preliminares 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.2 Transpuesta de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 Determinante de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.4 Operaciones y matrices elementales . . . . . . . . . . . . 8

1.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Bases y dimensi?n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.3 Producto interno. Bases ortonormales. Proyecci?n ortogonal 16

1.2.4 Producto cruz, rectas, hiperplanos y conjuntos convexos . . 18

1.3 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Matriz de una transformaci?n lineal . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.2 ?lgebradetransformacioneslineales.Inversadeunatransformaci?n lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.3 Matrices semejantes. Cambio de base . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Espacios fundamentales de una matriz. Rango de una matriz. Sistemas de ecuaciones lineales .? . . . . . . . . . . . . . 29

CAP?TULO 2.

Matrices particionadas. Traza de una matriz 2.1 Operaciones con matrices particionadas . . . . . . . . . . . . . . 33

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Determinantes e inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Traza de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4 Anexo: Determinantes y permutaciones. F?rmula de Binet-Cauchy 53?

CAP?TULO 3.

Valores propios y vectores propios. Diagonalizaci?n 3.1 Valores propios y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.2 Diagonalizaci?n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.3 Diagonalizaci?n de matrices sim?tricas . . . . . . . . . . . . . . 85

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

3.4 Diagonalizaci?n simult?nea de matrices sim?tricas . . . . . . . . 105

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

3.5 Anexo: Forma de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

CAP?TULO 4.

Formas cuadr?ticas 4.1 De?nici?n y clasi?caci?n de las formas cuadr?ticas . . . . . . . 125

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.2 Cambio de variables. Diagonalizaci?n de formas cuadr?ticas . . . 130

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

4.3 Formas cuadr?ticas positivas, negativas e inde?nidas . . . . . . . 140

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

4.4 Aplicaciones de las formas cuadr?ticas . . . . . . . . . . . . . . 149

4.5 Anexo: Matrices no negativas. Matrices idempotentes . . . . . . 156

4.5.1 Matrices no negativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.5.2 Matrices idempotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

CAP?TULO 5.

Inversa generalizada e inversa condicional de matrices 5.1 Inversa generalizada o g-inversa de una matriz . . . . . . . . . . 169

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5.2 C?lculo de la g-inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . 179

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

5.3 Inversa condicional o c-inversa de una matriz . . . . . . . . . . . 186

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

5.4 Sistemas de ecuaciones lineales: g-inversa y c-inversa de una matriz. M?nimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Ejercicios II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

CAP?TULO 6.

Factorizaci?n de matrices 6.1 Descomposici?n LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.2 Descomposici?n de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

6.3 Descomposici?n QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

6.4 Descomposici?n en valores singulares (SVD) . . . . . . . . . . . 238

Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

Ap?ndice A A.1 C?lculo de integrales relacionadas con la distribuci?n normal . . 247

Ap?ndice B B.1 Funciones matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

?ndice alfab?tico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Bibliograf?a III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

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Tópicos de álgebra lineal